Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : a) $\int x\ln\left(1 x\right)dx$ b) $\int\left(x^2 2x-1\right)e^xdx$ c) $\int x\sin\left(2x 1\right)dx$ d) \(\int\left(1-x\right)\co...

1

LN

Linh Nguyễn

1 tháng 4 2017

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> $du=\frac{1}{1+x}dx$ , $v=\frac{x^{2}-1}{2}$

Ta có: ∫xln(1+x)dx = $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)$

= $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C$

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số: $-\frac{x}{2}cos (2x+1)+ \frac{1}{4}sin(2x+1)+C$

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : a) $\int\left(1-2x\right)e^xdx$ b) $\int xe^{-x}dx$ c) $\int x\ln\left(1-x\right)dx$ d) $\int x\sin^2xdx$ e) $\int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx$ g) $\int\sqrt{x}\ln^2xdx$ h) \(\int...

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau : a) $\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos2xdx$ b) $\int\limits^{\ln2}_0xe^{-2x}dx$ c) $\int\limits^1_0\ln\left(2x+1\right)dx$ d) $\int\limits^3_2\left|\ln\left(x-1\right)-\ln\left(x+1\right)\right|dx$ e) $\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\left(1+x-\dfrac{1}{x}\right)e^{x+\dfrac{1}{x}}dx$ g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos...

0

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

0

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

Tính các nguyên hàm sau đây :

a) $\int\left(x+\ln x\right)x^2dx$

b) $\int\left(x+\sin^2x\right)\sin xdx$

c) $\int\left(x+e^x\right)e^{2x}dx$

d) $\int\left(x+\sin x\right)\dfrac{dx}{\cos^2x}$

e) $\int\dfrac{e^x\cos x+\left(e^x+1\right)\sin x}{e^x\sin x}dx$

5

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

a) $\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}$

$=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C$ (*)

Để tính: $\int x^2\ln x\text{dx}$ ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.$

Suy ra:

$\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}$

$=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3$

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) $=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C$

$=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C$

GV

Giáo viên Toán

Giáo viên

4 tháng 5 2017

b) Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.$

Ta có:

$\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)$

$=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C$

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần :

a) $\int\limits^{e^4}_1\sqrt{x}\ln xdx$

b) $\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{xdx}{\sin^2x}$

c) $\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-x\right)\sin xdx$

d) $\int\limits^0_{-1}\left(2x+3\right)e^{-x}dx$

2

PT

Phan Thùy Linh

1 tháng 4 2017

Ôn tập cuối năm giải tích lớp 12

CC

CÔNG CHÚA THẤT LẠC

9 tháng 4 2017

Giải bài 11 trang 147 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

SG

Sách Giáo Khoa

1 tháng 4 2017

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính :

a) $\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(x+1\right)\sin x.dx$

b) $\int\limits^e_1x^2lnxdx$

c) $\int\limits^1_0ln\left(1+x\right)dx$

d) $\int\limits^1_0\left(x^2-2x-1\right)e^{-x}dx$

1

HB

Hai Binh

27 tháng 4 2017

Hỏi đáp Toán

PT

Phan thu trang

6 tháng 2 2017

Câu hỏi hay

1) $\int ln^3xdx$

2) $\int_0^1\left(x+sin^2x\right)c\text{os}xdx$

3)$\int x\left(e^{2x}+\sqrt[3]{x+1}\right)dx$

4

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 2 2017

Câu 1)

$I=\int \ln ^3 xdx$. Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\ln ^3x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{3\ln ^2x}{x}dx\\ v=x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=x\ln ^3x-3\int \ln^2xdx$

Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho $\int \ln ^2xdx$ như trên, ta suy ra:

$\int\ln ^2xdx=x\ln^2x-2\int \ln x dx$.

Tiếp tục nguyên hàm từng phần cho $\int \ln xdx\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+c$

Do đó mà $I=x\ln ^3x-3(x\ln^2x-2x\ln x+2x)+c$

$\Leftrightarrow I=x\ln^3x-3x\ln^2x+6x\ln x-6x+c$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 2 2017

Câu 2)

$I=\int ^{1}_{0}(x+\sin ^2x)\cos x dx=\int ^{1}_{0}x\cos xdx+\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx$

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c$

$\Rightarrow \int ^{1}_{0} x\cos xdx=\sin 1+\cos 1-1$

Còn $\int ^{1}_{0}\sin^2x\cos xdx=\int ^{1}_{0}\sin ^2xd(\sin x)=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\sin ^3x}{3}=\frac{\sin^31}{3}$

$\Rightarrow I=-1+\sin 1+\cos 1+\frac{\sin ^3 1}{3}\approx 0,0173$

Tính các nguyên hàm sau : a) $\int x\left(3-x\right)^5dx$ b) $\int\left(2^x-3^x\right)^2dx$ c) $\int x\sqrt{2-5x}dx$ d) $\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx$ e) $\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx$ $\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx$ h) $\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx$ i) $\int\sin3x\cos2xdx$ k) $\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx$ l) $\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx$ (\(a^2\ne...

SG

Sách Giáo Khoa

12 tháng 4 2017

0

H

Hùng

24 tháng 2 2019

1, $\int\dfrac{x}{1-cos2x}dx$

2, $\int cos2x.e^{3x}dx$

3, $\int\left(2x+1\right)ln^2dx$

4, $\int\left(2x-1\right)cosxdx$

5, $\int\left(x^2+x+1\right)e^xdx$

6, $\int\left(2x+1\right)ln\left(x+2\right)dx$

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 2 2019

$I=\int\dfrac{x}{1-cos2x}dx=\int\dfrac{x}{2sin^2x}dx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{x}{2}\\dv=\dfrac{1}{sin^2x}dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{2}\\v=-cotx\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int cotxdx=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{cosx.dx}{sinx}$

$=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(sinx\right)}{sinx}=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}ln\left|sinx\right|+C$

2/ Câu 2 bữa trước làm rồi, bạn coi lại nhé

3/ $I=\int\left(2x+1\right)ln^2xdx$

Đặt $\left\{{}\begin{matrix}u=ln^2x\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{2lnx}{x}dx\\v=x^2+x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\int\left(2x+2\right)lnxdx=\left(x^2+x\right)ln^2x-I_1$

$I_1=\int\left(2x+2\right)lnx.dx$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\left(2x+2\right)dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x^2+2x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I_1=\left(x^2+2x\right)lnx-\int\left(x+2\right)dx=\left(x^2+2x\right)ln-\dfrac{x^2}{2}+2x+C$

$\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\left(x^2+2x\right)lnx+\dfrac{x^2}{2}-2x+C$

4/ $I=\int\left(2x-1\right)cosx.dx$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x-1\\dv=cosx.dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=sinx\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\left(2x-1\right)sinx-2\int sinx.dx=\left(2x-1\right)sinx+2cosx+C$

5/ $I=\int\left(x^2+x+1\right)e^xdx$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+1\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\int\left(2x+1\right)e^xdx$

$I_1=\int\left(2x+1\right)e^xdx$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I_1=\left(2x+1\right)e^x-2\int e^xdx=\left(2x+1\right)e^x-2e^x+C=\left(2x-1\right)e^x+C$

$\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\left(2x-1\right)e^x+C=\left(x^2-x+2\right)e^x+C$

6/ $I=\int\left(2x+1\right).ln\left(x+2\right)dx$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x+2\right)\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x+2}\\v=x^2+x\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\dfrac{x^2+x}{x+2}dx$

$=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\left(x-1+\dfrac{2}{x+2}\right)dx$

$I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\dfrac{x^2}{2}+x-2ln\left|x+2\right|+C$

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 2 2019

Nhớ quy tắc ưu tiên khi tính nguyên hàm từng phần:

- Đặt u sẽ ưu tiên các hàm ln, log đầu tiên (luôn luôn đặt các hàm này là u nếu có mặt), sau đó đến các hàm đa thức P(x), sau đó là lượng giác hoặc e^

- Đặt dv thì theo thứ tự ngược lại, ưu tiên đặt lượng giác (sin, cos) và e^

1) $\int ln\frac{\left(1+s\text{inx}\right)^{1+c\text{os}x}}{1+c\text{os}x}dx$ 2) $\int\left(xlnx\right)^2dx$ 3) $\int\frac{3xcosx+2}{1+cot^2x}dx$ 4)$\int\frac{2}{c\text{os}2x-7}dx$ 5)$\int\frac{1+x\left(2lnx-1\right)}{x\left(x+1\right)^2}dx$ 6) $\int\frac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}dx$ 7)$\int e^x\frac{1+s\text{inx}}{1+c\text{os}x}dx$ 8) $\int ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx$ 9)$\int\frac{xln\left(1+x\right)}{\left(1+x^2\right)^2}dx$ 10)...

PT

Phan thu trang

8 tháng 2 2017

Câu hỏi hay

11

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 2 2017

Câu 2)

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx$

Đặt $\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c$

Do đó $I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

8 tháng 2 2017

Câu 3:

$I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}$

Đặt $t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}$

Đặt $k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v$. Đến đây dễ dàng suy ra $I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c$